難しい新空間の定義

確かに、既存の空間に対して和とスカラー倍が定義されている場合、その空間が線型空間（ベクトル空間）であるかどうかを確認するのは数学的に明確な基準があります。具体的には、以下のような公理を満たす必要があります。

1. 交換法則：$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
2. 結合法則：$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
3. 加法単位元の存在：$\exists \mathbf{0}, \forall \mathbf{v}, \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$
4. 加法逆元の存在：$\forall \mathbf{v}, \exists \mathbf{-v}, \mathbf{v} + \mathbf{-v} = \mathbf{0}$
5. スカラー倍の分配：$a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$
6. ベクトル和に対するスカラー倍の分配：$a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$
7. スカラー和に対するスカラー倍の分配：$(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$
8. スカラー1によるスカラー倍：$1\mathbf{v} = \mathbf{v}$

新しい空間とその上の演算（和とスカラー倍）を「発明」することは、確かにより創造的なプロセスであり、より高度な理解と洞察が必要です。これには以下のようなステップが考えられます。

1. 問題定義: どのような性質や構造を持つ空間が必要かを考えます。
2. 基本要素の選定: 空間を構成する基本的な要素（ベクトル）を選定します。
3. 演算の定義: 和とスカラー倍の演算を定義します。
4. 検証: 定義した演算が線型空間の公理を満たすか検証します。

一般に、このような新しい概念や構造は、既存の数学的オブジェクトや物理的・情報的な現象に対する新しい洞察から生まれることが多いです。

申し訳ありません、説明が不正確でした。ベクトル空間（Vector Space）と線型空間（Linear Space）は、数学においてしばしば同義として使用されることが多いです。どちらも、特定の公理を満たす和とスカラー倍が定義された集合です。

一般に、ベクトル空間は具体的な「ベクトル」の概念に特化している場合がありますが、線型空間はより抽象的な概念として認識されることもあります。しかし、この違いはしばしば文脈に依存するため、明確な区別が常にされるわけではありません。特定の文脈でこれらの用語がどのように使われているかに注意を払うことが重要です。

「ベクトル空間はただのベクトルの集まりで、そこに定義された演算が一定の性質を満たすものが線型空間である」という説明は、一般的な定義には合致していない可能性があります。通常、ベクトル空間も線型空間も、その要素（ベクトル）と和、スカラー倍の演算が一定の公理を満たす必要があります。

いずれにせよ、これらの用語が文脈に応じてどのように使われるかに注意を払うことが重要です。特に、異なる分野の文献ではこれらの用語が異なるニュアンスで使われることもあるので、その点を考慮すると良いでしょう。

"ただのベクトルの集まり"には特別な名前が一般的には与えられていないことが多いです。一般的な数学的な集合として扱われることが多いですね。

ただし、そのような集まりが特定の数学的性質や構造を持つ場合、それに応じて名前がつけられることはあります。例えば、ベクトルの集まりが線型独立であれば、それは「線型独立な集合」と呼ばれることがあります。また、特定のベクトルによって張られる空間（すべての線型結合からなる集合）があれば、それは「張空間」や「生成子空間」といった名称で呼ばれることがあります。

しかし、これらはあくまでその集合が持つ特定の性質や構造に基づいた名称であり、"ただのベクトルの集まり"としては一般的な数学的な集合として扱われることがほとんどです。