累積分布関数の右連続性

確率論において、累積分布関数（Cumulative Distribution Function, CDF） $F(x)$ は右連続（right-continuous）であると定義されます。これは、ある確率変数 $X$ に対して $F(x) = P(X \leq x)$ が成立するような関数 $F(x)$ で、以下の性質が成立するものです。

\lim_{{x \to a+}} F(x) = F(a)

この右連続性はいくつかの理由で採用されています。

数学的な都合: 累積分布関数は確率測度から導出されるため、その性質は確率測度の性質に依存します。確率測度はボレル集合（Borel sets）上で定義されることが一般的で、このボレル集合は右閉区間を使って生成されます。そのため、確率測度（従って累積分布関数も）が右連続であるのは自然な選択です。
直感的な解釈: $F(a) = P(X \leq a)$ とすると、確率変数 $X$ の値が $a$ 以下である確率を考えるときに、 $a$ を含むことが直感的に理解しやすい場合もあります。例えば、5以下の整数が出る確率を考える場合、5を含む方が直感的です。
計算の簡便性: 右連続性は、様々な数学的手法や解析的手法が存在する現代の確率論において計算を簡便にする場合が多いです。
一般性: 右連続関数として定義することで、連続確率変数から離散確率変数まで、多くの確率変数を包括的に扱うことができます。

左連続とすることにも一定の直感的な意味や数学的な利点は存在するかもしれませんが、上記のような理由から、歴史的にも数学的にも右連続が採用されています。