絶対値は1

はい、$|\cos(a) + i \sin(a)|$ の絶対値は1です。

ここで、$\sqrt{}$ は平方根を表し、$i$ は虚数単位です。この式はオイラーの公式と密接に関連しています。

もちろんです。$|\cos(a) + i \sin(a)|$ の絶対値を計算する際の途中式は以下のようになります。

絶対値の定義に基づき、複素数 $z = x + iy$（ここで $i$ は虚数単位、$x$ と $y$ は実数）の絶対値 $|z|$ は $\sqrt{x^2 + y^2}$ です。

この定義に従って、$|\cos(a) + i \sin(a)|$ は次のように計算されます。

ここで、$\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$（三角関数の基本的な恒等式）であるので、

以上のように、$|\cos(a) + i \sin(a)|$ の絶対値は1になります。

はい、その通りです。複素数平面において、複素数 $z = x + iy$ （$i$ は虚数単位、$x$ と $y$ は実数）を点 $(x, y)$ としてプロットすると、その点から原点 $(0,0)$ までの距離が複素数 $z$ の絶対値 $|z|$ に等しくなります。

この距離はユークリッド距離として計算され、その定義は $\sqrt{x^2 + y^2}$ となります。この値は、複素数平面上での「ベクトルの大きさ」として理解することができます。

したがって、複素数の絶対値は複素数平面におけるベクトルの大きさと考えてよいです。

特性関数（Characteristic Function）$\phi(t)$に関して、その$k$回微分が原点周りの$k$次モーメントと関連することは一般には正確ではありません。しかし、$k$回微分が存在すると、その$k$回微分を$t = 0$で評価した値は確率変数の$k$次モーメントに関係します。

特性関数は以下のように定義されます：

ここで、$E[\cdot]$は期待値を表し、$X$は確率変数です。

$k$回微分した特性関数を$\phi^{(k)}(t)$とした場合、$t = 0$でのその値は原点周りの$k$次モーメントと関連しています。具体的には、

この関係式が成り立つためには、$E[X^k]$が存在する必要があります。すなわち、$k$次モーメントが有限でなければなりません。

このように、特性関数の$k$回微分は、$t = 0$で評価することで原点周りの$k$次モーメントに関係してきます。ただし、その前に$k$次モーメントが存在する（有限である）必要があります。

もちろんです。確率変数$X$の特性関数$\phi(t)$が

で与えられたとき、その$k$回微分$\phi^{(k)}(t)$は以下のように計算できます。

この微分を計算するには、内部の指数関数$e^{itX}$に対する$k$回微分を行います。

以上より、

そして、特性関数の$k$回微分を$t = 0$で評価すると、

ここで、$\mu_k = E[X^k]$は$k$次の原点周りのモーメントです。

このように、確率変数の$k$次モーメントが存在する場合（つまり、$E[X^k]$が有限である場合）、特性関数の$k$回微分を$t = 0$で評価した値は、$i^k$倍された$k$次モーメントに等しくなります。