Golf Ball Motion Analysis

August 24, 2023

Anonymous

Résoud le problème suivant : Un golfeur frappe une balle à une vitesse de 40,0m/s qui est propulsée avec un angle de 15∘. a) Combien de temps la balle prendra-t-elle avant de revenir au sol? b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle? c) Quelle est la distance horizontale (portée) parcourue par la balle?

ChatGPT

Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les équations du mouvement parabolique.

La balle est propulsée avec une vitesse initiale $V_0$ et un angle $\theta$ par rapport à l'horizontale. Nous pouvons décomposer cette vitesse initiale en deux composantes:

Une composante horizontale $V_{0x} = V_0 \cos(\theta)$
Une composante verticale $V_{0y} = V_0 \sin(\theta)$

Les formules générales pour le mouvement parabolique sont:

Temps de vol $T$ : $T = \frac{2 V_{0y}}{g}$
Hauteur maximale $H$ : $H = \frac{V_{0y}^2}{2g}$
Portée $R$ : $R = V_0 \cos(\theta) \times T$

Où:

$g$ est l'accélération due à la gravité, qui est approximativement $9,81 \, \text{m/s}^2$
$V_0$ est la vitesse initiale
$\theta$ est l'angle de projection

Commençons par le calcul de $V_{0x}$ et $V_{0y}$ .

$V_{0x} = 40,0 \, \text{m/s} \times \cos(15^\circ)$ $V_{0y} = 40,0 \, \text{m/s} \times \sin(15^\circ)$

Les composantes de la vitesse initiale sont :

Composante horizontale $V_{0x}$ : $38,64 \, \text{m/s}$
Composante verticale $V_{0y}$ : $10,35 \, \text{m/s}$

a) Pour calculer le temps total que la balle prend pour revenir au sol, nous utilisons la formule:

$T = \frac{2 V_{0y}}{g}$

Où $g$ est l'accélération due à la gravité, qui est approximativement $9,81 \, \text{m/s}^2$ .

$T = \frac{2 \times 10,35 \, \text{m/s}}{9,81 \, \text{m/s}^2}$

a) Le temps total que la balle prendra pour revenir au sol est d'environ $2,11$ secondes.

b) Pour déterminer la hauteur maximale $H$ atteinte par la balle, nous utilisons la formule:

H = \frac{V_{0y}^2}{2g}

En insérant les valeurs que nous avons :

H = \frac{(10,35 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9,81 \, \text{m/s}^2} \] &#8203;``【oaicite:0】``&#8203;

b) La hauteur maximale atteinte par la balle est d'environ $5,46$ mètres.

c) Pour déterminer la distance horizontale (portée) $R$ parcourue par la balle, nous utilisons la formule :

$R = V_0 \cos(\theta) \times T$

En utilisant les valeurs que nous avons :

$R = 38,64 \, \text{m/s} \times 2,11 \, \text{s}$

c) La distance horizontale (portée) parcourue par la balle est d'environ $81,55$ mètres.

En résumé : a) La balle prendra environ $2,11$ secondes pour revenir au sol. b) La hauteur maximale atteinte par la balle est d'environ $5,46$ mètres. c) La distance horizontale parcourue par la balle est d'environ $81,55$ mètres.

Anonymous

J'aimerais maintenant que tu créé un environnement de simulation de trajectoire de tir oblique où, avec des curseurs, je pourrais faire varier la vitesse initiale ( de 1-100 m/s) et l'angle initial (de 1 à 90 degrés), et ainsi visualiser l'effet de ces paramètres sur la trajectoire.

ChatGPT

D'accord, je vais créer un environnement de simulation interactif avec des curseurs pour vous permettre de varier la vitesse initiale et l'angle de lancement. La trajectoire du tir oblique sera tracée en fonction de ces paramètres.

Pour cela, j'utiliserai les bibliothèques matplotlib pour le tracé graphique et ipywidgets pour les éléments interactifs. Commençons !

Je m'excuse pour le désagrément. Il semble que je ne puisse pas utiliser ipywidgets directement dans cet environnement. Cependant, je peux créer une fonction qui tracera la trajectoire pour différentes valeurs de vitesse et d'angle que vous me fournirez manuellement. Vous pourrez ainsi me donner différentes valeurs et je générerai les graphiques correspondants. Est-ce que cela vous conviendrait ?

Anonymous

Peut-être me fournir du code pour réaliser cet environnement interactif ailleurs ?

ChatGPT

Bien sûr, je peux vous fournir un code que vous pourrez exécuter dans un environnement local, par exemple dans un notebook Jupyter, pour avoir une visualisation interactive. Assurez-vous d'avoir les bibliothèques numpy, matplotlib et ipywidgets installées. Vous pouvez les installer via pip:


pip install numpy matplotlib ipywidgets

Une fois les bibliothèques installées, voici le code pour créer un environnement de simulation interactif :

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display

def plot_trajectory(v0, theta):
    g = 9.81  # acceleration due to gravity

    # Calculate horizontal and vertical components of the velocity
    V0x = v0 * np.cos(np.radians(theta))
    V0y = v0 * np.sin(np.radians(theta))
    
    # Time of flight
    T = 2 * V0y / g
    # Max height
    H = (V0y**2) / (2 * g)
    # Range
    R = V0x * T
    
    # Generate time values
    t = np.linspace(0, T, 1000)
    # Equations of motion
    x = V0x * t
    y = V0y * t - 0.5 * g * t**2
    
    # Plotting
    plt.figure(figsize=(10,6))
    plt.plot(x, y, label=f"V0={v0} m/s, θ={theta}°")
    plt.title('Trajectoire du tir oblique')
    plt.xlabel('Distance horizontale (m)')
    plt.ylabel('Hauteur (m)')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.ylim(0, max(100, H + 10))
    plt.xlim(0, R + 10)
    plt.show()

# Interactive widgets
widgets.interactive(plot_trajectory,
                    v0=widgets.IntSlider(min=1, max=100, value=40, description="Vitesse initiale (m/s)"),
                    theta=widgets.IntSlider(min=1, max=90, value=45, description="Angle (°)"))

Copiez et collez ce code dans un notebook Jupyter, exécutez-le, et vous devriez voir apparaître des curseurs interactifs pour ajuster la vitesse initiale et l'angle. La trajectoire se mettra à jour automatiquement lorsque vous modifiez ces valeurs.

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